Question

求(x^3y^2+x^2y^3+1/2)在一个半径为R的上半球面的三重积分

Answer 1

取Ω：z = √(R² - x² - y²)

积分域关于x轴和y轴都对称

所以若被积函数f(- x,y,z) = - f(x,y,z) 和 f(x,- y,z) = - f(x,y,z),其积分值都是0.

所以∫∫∫Ω x³y² dxdydz = ∫∫∫Ω x²y³ dxdydz = 0

所以∫∫∫Ω (x³y² + x²y³ + 1/2) dxdydz

= (1/2)∫∫∫Ω dxdydz = 1/2 * 半球体体积

= 1/2 * 4/3 * π * R³

= (2/3)πR³