Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，满足不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），且方程f（x）+6a=0有两个相等实

Answer 1

解题思路：依据不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），可设函数f（x）-2x的解析式为f（x）+2x=a（x-1）（x-3），得出f（x）的解析式．再利用f（x）+6a=0有两个相等的实数根，通过△=0求出a的值最后代入f（x）即可得出答案．

∵f（x）与f（x）+2x的二次项系数相等，

∴f（x）+2x的二次项系数为a．

又∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3），

∴设f（x）+2x=a（x-1）（x-3）（a＜0），

∴f（x）=a（x²-4x+3）-2x=ax²-（4a+2）x+3a．

∵方程f（x）+6a=0有两个相等实根

∴ax²-（4a+2）x+9a=0有两个相等实根．

∴[-（4a+2）]²-36a²=0，解得a=1（舍去），a＝−

1

5

∴f(x)＝−

1

5x2−

6

5x−

3

5

点评：

本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数与方程的综合运用．

考点点评： 本题主要考查用待定系数法求函数解析式的问题．属基础题．