已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线l:y=kx,且l与圆C相交于P,Q两点,点M(0,b),且MP⊥MQ

1个回答

  • 圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0,即:(x-1)^2+(y-1)^2=1,圆心位于(1,1)

    将直线l:y=kx代入得:

    (k^2+1)x^2-2(k+1)x+1=0

    有两个根,要求△=4(k+1)^2-4(k^2+1)=8k>0

    x1+x2=2(k+1)/(k^2+1)………………①

    x1*x2=1/(k^2+1)……………………②

    MP⊥MQ可知:PQ^2=MP^2+MQ^2

    (x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=x1^2+(kx1-b)^2+x2^2+(kx2-b)^2

    x1^2-2x1x2+x2^2+k^2(x1^2-2x1x2+x2^2)

    =x1^2+k^2x1^2-2kbx1+b^2+x2^2+k^2x2^2-2kbx2+b^2

    化简得:(k^2+1)x1x2=kb(x1+x2)-b^2;将①②代入

    (k^2+1)/(k^2+1)=kb*2(k+1)/(k^2+1))-b^2,

    (k^2+1)=kb*2(k+1)-b^2*(k^2+1)

    化简得:

    f(b)=(k^2+1)b^2-(2k^2+k)b+(k^2+1)=0

    关于b的方程在10,且对称轴1