1、be in 【 a 】good mood /bad mood
这里面【必须要用不定冠词】.因为,这是mood这个名词的固定搭配形式,是【抽象名词具体化,演变成可数名词】的典型例子之一.类似用法还有：
have a good rest 休息
have a good knowledge of 掌握/精通某方面知识
give sb a surprise 给某人一份惊喜
be a success/failure/help 是成功失败有帮助的人或事物
2、be in goodbadpoor health 也是固定搭配形式,没有冠词,因为health不可数.
但是be in a good state of health这个主体词是【state】,可数.
3、4、 他的脾气 很好 / 不好.
He has (a) good/bad temper 要加冠词,你给的就正确.还可以表达为：
=He is good-tempered.
=He is a good-tempered person/man.
=He is good in temper.
He has (a) bad temper
=He is bad/ill-tempered.
=He is a bad-tempered person/man.
=He is bad in temper.
5、上课
have a class 【单数有冠词】
have lasses
上英语课
have an English class 上一节英语课
have the English class 上英语课（而不是数学或其他课）
像English 这样的词,都属于【专有名词】,必须大写,无论在句子中什么位置.即使在短语中或单独出现,也要大写.
回过头来看,你所问的这些问题,都涉及到【知识的准确性】,这就提醒我们,最好做到【第一次接触时就准确记忆知识】,要不然,可能会导致【似是而非,事倍功半】.
祝你开心如意!