Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，且a 1 =1，a n+1 =2S n +1，数列{b n }满足a 1 =b

Answer 1

（Ⅰ）由a _n+1=2S _n+1可得a _n=2S _n-1+1（n≥2），

两式相减得a _n+1-a _n=2a _n，

a _n+1=3a _n（n≥2）．

又a ₂=2S ₁+1=3，

所以a ₂=3a ₁．

故{a _n}是首项为1，公比为3的等比数列．

所以a _n=3 ^n-1．

由点P（b _n，b _n+1）在直线x-y+2=0上，所以b _n+1-b _n=2．

则数列{b _n}是首项为1，公差为2的等差数列．

则b _n=1+（n-1）•2=2n-1

（Ⅱ）因为 c n =

b n

a n =

2n-1

3 n-1 ，所以 T n =

1

3 0 +

3

3 1 +

5

3 2 ++

2n-1

3 n-1 ．

则

1

3 T n =

1

3 1 +

3

3 2 +

5

3 2 ++

2n-3

3 n-1 +

2n-1

3 n ，

两式相减得：

2

3 T n =1+

2

3 +

2

3 2 ++

2

3 n-1 -

2n-1

3 n ．

所以 T n =3-

1

2• 3 n-2 -

2n-1

2• 3 n-1 = 3-

n+1

3 n-1 ．