解题思路：①取x=y=0代入已知的等式，则可求f（0）=0；
②取x=0，y=x，代入已知等式，整理后可得函数f（x）为奇函数；
③取x，y∈（-1，1），可证出
−1＜
x−y
1−xy
＜0
，当
f(
x−y
1−xy
)＞0
时，不能证明函数f（x）是定义域内的增函数；
④运用奇函数定义，得
f(
a
n
)+f(
a
n
)＝f(
a
n
)−f(−
a
n
)＝f(
2
a
n
1+
a
n
2
)
=f（an+1），整理后可得数列{f（an）}为等比数列．
①由对任意x，y∈（-1，1），f(x)−f(y)＝f(
x−y
1−xy)恒成立．
取x=y=0，则f(0)−f(0)＝f(
0−0
1−0)＝f(0)，所以f（0）=0，所以①正确；
②取x=0，y=x，则f(0)−f(x)＝f(
0−x
1−0•x)＝f(−x)，即f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为（-1，1）上的奇函数，所以②正确；
③设-1＜x＜y＜1，则-2＜x＜0，xy＜1，1-xy＞0，所以
x−y
1−xy＜0，
又
x−y
1−xy+1＝
x−y+1−xy
1−xy＝
(1−y)(1+x)
1−xy＞0，
所以−1＜
x−y
1−xy＜0，
若f(
x−y
1−xy)＞0，则f(x)−f(y)＝f(
x−y
1−xy)＞0，有f（x）＞f（y），此时函数为减函数，
所以③不正确；
④由f(an)+f(an)＝f(an)−f(−an)＝f(
2an
1+an2)=f（an+1），所以f（an+1）=2f（an），
又an∈（-1，0）∪（0，1），所以f（an）≠0，所以数列{f（an）}为等比数列．
所以④正确．
故答案为①②④．
点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．
考点点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了特值思想，解答此题的关键是把x，y取特值后灵活变形，考查了学生的观察能力和灵活解决问题的能力，此题是中档题．