Question

若双曲线x²/2m+y²/m-4=1的一条渐近线与直线2x-√2y-3=0垂直,则m的值等于多少?

Answer 1

假设存在,交点A(x1,y1),B(x2,y2)

直线斜率k=√2,由弦长公式：AB=√(1+k²)|x1-x2|=√5|x1-x2|

所以,要使弦长最短,只要使得|x1-x2|最小即可.

把y=√2x+b代入双曲线方程得：

x²/2-(√2x+b)²/6=1

整理得：x²-2√2bx-b²-6=0

|x1-x2|=√△/|a|=√△=2√(3b²+6)

显然当b=0时,|x1-x2|有最小值2√6

所以,弦长AB的最小值为2√30

即存在b=0使得弦长最短为2√30