Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，又a1=1，a2=2，且满足Sn+1=kSn+1，

Answer 1

解题思路：（1）利用n=1，以及已知条件即可求k的值，利用a_n=S_n-S_n-1，即可求解数列的通项公式；

（2）利用（1）的通项公式通过T_n=

a

n

(

a

n

+1)(

a

n+1

+1)

利用裂项法求和，即可求证：T₁+T₂+…+T_n＜[1/2]．

（1）令n=1，则s₂=a₁+a₂=ks₁+1=ka₁+1

故k+1=3∴k=2

故s_n+1=2s_n+1①

s_n=2s_n-1+1②

①-②得a_n+1=2a_n（n≥2）

故

an+1

an＝2(n≥2)又

a2

a1＝2

故a_n=2^n-1

（2）Tn＝

2n−1

(2n+1)(2n−1+1)＝

1

2n−1+1−

1

2n+1

故T1+T2+…+Tn＝

1

20+1−

1

21+1+

1

22+1+…+

1

2n−1+1−

1

2n+1=[1/2−

1

2n+1＜

1

2]．

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列通项公式、数列求和的方法裂项法的应用，数列与不等式的关系，考查计算能力．