Question

如图,平面α∥β,A,C∈α,B,D∈β,且AB,CD不共面,E,F分别是线段AB,CD的中点,求证：EF∥β

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AD,作EG∥BD交AD于点G,连接FG,

因为AE：EB=CF：FD

∴EG∥BD,FG∥AC,

则EG∥β,FG∥α,

∵α∥β

∴FG∥β；

又因为；EG∩FG=G．

∴平面EFG∥β

而EF⊂平面EFG；

∴EF∥β

（Ⅱ）∵EG∥BD,FG∥AC且E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6；

∴EG=12BD=3,FG=12AC=2

∵AC,BD所成的角为60°,

∴∠EGF=120°或60°

∴EF=EG 2+FG 2−2EG•FGcos∠EGF=22+32−2×2×3cos∠120°=19；

或EF=22+32−2×2×3×cos∠60°=7

即EF＝19或7．