Question

如图,平行四边形ABCD中,M,N分别是AD和BC的中点,O是AC和BD的交点,求证：M,O,N三点共线

Answer 1

证明：∵ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,AB∥CD,

在ΔABD中,∵M、O分别为AD、BD的中点,∴MO∥AB,

在ΔBCD中,∵N、O分别为BC、BD的中点,∴ON∥CD,

∴ON∥AB,

∴OM、ON都过O,并且都与AB平行,

根据平行线公理(过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)：

M、O、N三点共线.

还可以如下证明：

∵OM∥AB,∴∠DBA=∠DOM,

∵ON∥CD,∴∠CDO+∠DON=180°,

∵ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,

∴∠DBA=∠CDO,

∴∠DOM+∠DON=180°,

∴M、O、N三点共线.