解题思路：（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到S与t之间的函数关系式．
（2）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．
在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t．
（3）根据相似三角形对应边成比例可列式求出t，从而根据正切的定义求出值．
（4）首先假设存在，然后再根据相似三角形对应边成比例求证．
（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12．
∵QB=16-t，
∴S=[1/2]×12×（16-t）=96-6t（0≤t＜16）；
（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ．
在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，
解得t=[7/2]；
②若BP=BQ．
在Rt△PMB中，BP2=（16-2t）2+122．
由BP2=BQ2得：（16-2t）2+122=（16-t）2
即3t2-32t+144=0．
由于△=-704＜0，
∴3t2-32t+144=0无解，
∴PB≠BQ．
③若PB=PQ．
由PB2=PQ2，得t2+122=（16-2t）2+122
整理，得3t2-64t+256=0．
解得t1=[16/3]，t2=16（舍去）
综合上面的讨论可知：当t=[7/2]秒或t=[16/3]秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
（3）如图，由△OAP∽△OBQ，得[AP/BQ=
AO
OB=
1
2]．
∵AP=2t-21，BQ=16-t，
∴2（2t-21）=16-t．
∴t=[58/5]．
过点Q作QE⊥AD，垂足为E．
∵PD=2t，ED=QC=t，
∴PE=t．
在Rt△PEQ中，tan∠QPE=[QE/PE=
12
t=
30
29]．
又∵AD∥BC，
∴∠BQP=∠QPE，
∴tan∠BQP=[30/29]；
（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD．
如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E．
∵AD∥BC
∴∠BQF=∠EPQ，
又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°，
∴∠BQF=∠BDC，
∴∠BDC=∠EPQ，
又∵∠C=∠PEQ=90°，
∴Rt△BDC∽Rt△QPE，
∴[DC/BC=
PE
EQ]，即[12/16=
t
12]．
解得t=9．
所以，当t=9秒时，PQ⊥BD．
点评：
本题考点： 解直角三角形；勾股定理；直角梯形；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 梯形的问题可以通过作高线可以转化为直角三角形与矩形的问题．并且要理解以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，应分①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．三种情况进行讨论．