一个显然的事实是,
1 / 999…9 = 0. 000…1 000…1 ……
前者有n个9,后面以(n - 1)个0和一个1循环.
这个事实可以简单地用除法竖式验证.
由此,我们可以把任意一个循环小数写成分数.
如：
1.04232323……
= 1 + 0.04 + 0.002323……
= 1 + 1 / 25 + (23 / 99) / 100
= 10319 / 9900
反过来,对任意一个分数,我们只要找它的分母是哪个最小的99……9的因子,就知道它的循环节.
如：16个9：
9999999999999999 = 3 × 3 × 11 × 17 × 73 × 101 × 137 × 5882353
是最小的形如999……9的数中17的倍数.
所以,
1 / 17
= 0.0588235294117647 0588235294117647 0588235294117647 0588235294117647 0588235294117647 …………
循环节就有16位.