Question

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC的中点,连接AD,CE⊥AD于点E,交AB于F,连接DF.求证∠

Answer 1

证明：过B作BG⊥BC交CF延长线于G,

所以BG‖AC．

所以∠G=∠ACE．

因为AC⊥BC,CE⊥AD,

所以∠ACE=∠ADC．

所以∠G=∠ADC．

因为AC=BC,∠ACD＝∠CBG=90º,

所以 △ACD≌△CBG．

所以BG=CD=BD．

因为∠CBF=∠GBF=45º,BF=BF,

所以△GBF≌△DBF．

所以∠G=∠BDF．

所以∠ADC＝∠BDF．

所以∠ADC＝∠BDF．

说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时,常采用延长中线一倍的方法,构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时,经过角平分线上一点向两边作垂线,可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时,用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．