解题思路：（1）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x1=x，x2=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，再比较f（x1）和f（x2）的大小，从而得出：f（x）是增函数；
（2）根据f（x）为R上的增函数也是奇函数，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0对所有的θ均成立可转化成cos2θ-3＞2mcosθ-4m对所有的
θ∈[0，
π
2
]
均成立，然后利用分离法即可求出实数m的取值范围．
（1）∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=0得f（0）=0．
再令x1=x，x2=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为R上的奇函数．
设x1＜x2，则x2-x1＞0，当x＞0时f（x）＞0．∴f（x2-x1）＞0
由f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）为R上的增函数．
（2）∵f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0，∴f（cos2θ-3）＞-f（4m-2mcosθ）
∵f（x）为R上的奇函数，，即f（-x）=-f（x），∴f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m）
又∵f（x）为R上的增函数，cos2θ-3＞2mcosθ-4m对所有的θ∈[0，
π
2]均成立，2cos2θ-4＞2m（cosθ-2）恒成立，又∵cosθ-2＜0，∴m＞
cos2θ−2
cosθ−2恒成立，
又∵
cos2θ−2
cosθ−2＝
cos2θ−4+2
cosθ−2＝cosθ−2+
2
cosθ−2+4
又θ∈[0，
π
2]，∴0≤cosθ≤1，∴cosθ-2＜0，
∴cosθ−2+
2
cosθ−2+4≤4−4
2
当且仅当cosθ−2＝
2
cosθ−2即cosθ＝2−
2时取等号．
∴[
cos2θ−2
cosθ−2]max＝4−2
2
∴m＞4−2
2
点评：
本题考点： 抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合；余弦函数的定义域和值域．
考点点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．