高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 , . 2.德摩根公式 . 3.包含关系 4.容斥原理 . 5．集合 的子集个数共有 个；真子集有 –1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有 –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 ;(2)顶点式 ; (3)零点式 . 7.解连不等式 常有以下转化形式 . 8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 . 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得,具体如下： (1)当a>0时,若 ,则 ； , , . (2)当a0) （1） ,则 的周期T=a；（2） ,或 ,或 , 或 ,则 的周期T=2a； (3) ,则 的周期T=3a； (4) 且 ,则 的周期T=4a； (5) ,则 的周期T=5a； (6) ,则 的周期T=6a. 30.分数指数幂 (1) （ ,且 ）.(2) （ ,且 ）. 31．根式的性质（1） .（2）当 为奇数时, ；当 为偶数时, . 32．有理指数幂的运算性质 (1 .(2) . (3) . 注： 若a＞0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 . 34.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ). 推论 ( ,且 , ,且 , , ). 35．对数的四则运算法则若a＞0,a≠1,M＞0,N＞0,则 (1) ;(2) ; (3) . 36.设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ,且 ;若 的值域为 ,则 ,且 .对于 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若 , , , ,则函数 (1)当 时,在 和 上 为增函数. , (2)当 时,在 和 上 为减函数. 推论:设 , , ,且 ,则（1） . （2） . 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N,平均增长率为 ,则对于时间 的总产值 ,有 . 39.数列的同项公式与前n项的和的关系 ( 数列 的前n项的和为 ). 40.等差数列的通项公式 ；其前n项和公式为 . 41.等比数列的通项公式 ；其前n项的和公式为 或 . 42.等比差数列 : 的通项公式为 ；其前n项和公式为 . 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ). 44．常见三角不等式（1）若 ,则 . (2) 若 ,则 .(3) . 45.同角三角函数的基本关系式 , = , . 46.正弦、余弦的诱导公式 47.和角与差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . = (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ). 48.二倍角公式 . . . 49. 三倍角公式 . . . 50.三角函数的周期公式 函数 ,x∈R及函数 ,x∈R(A,ω, 为常数,且A≠0,ω＞0)的周期 ；函数 , (A,ω, 为常数,且A≠0,ω＞0)的周期 . 51.正弦定理 . 52.余弦定理 (1) ;(2) ; (2) . 53.面积定理（1） （ 分别表示a、b、c边上的高）. （2） . (3) . 54.三角形内角和定理 在△ABC中,有 . 55. 简单的三角方程的通解 . . . 特别地,有 . . . 56.最简单的三角不等式及其解集 . . . . . . 57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数,那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a•b= b•a （交换律）; (2)（ a）•b= （a•b）= a•b= a•（ b）;(3)（a+b）•c= a •c +b•c. 59.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设a= ,b= ,且b 0,则a b(b 0) . 53. a与b的数量积(或内积) a•b=|a||b|cosθ． 61. a•b的几何意义数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算 (1)设a= ,b= ,则a+b= . (2)设a= ,b= ,则a-b= . (3)设A ,B ,则 . (4)设a= ,则 a= . (5)设a= ,b= ,则a•b= . 63.两向量的夹角公式 (a= ,b= ). 64.平面两点间的距离公式 = (A ,B ). 65.向量的平行与垂直 设a= ,b= ,且b 0,则 A||b b=λa . a b(a 0) a•b=0 . 66.线段的定比分公式 设 , , 是线段 的分点, 是实数,且 ,则 （ ）. 67.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC的重心的坐标是 . 68.点的平移公式 . 注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形 上的对应点为 ,且 的坐标为 . 69.“按向量平移”的几个结论（1）点 按向量a= 平移后得到点 . (2) 函数 的图象 按向量a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式为 . (3) 图象 按向量a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数解析式为 . (4)曲线 : 按向量a= 平移后得到图象 ,则 的方程为 . (5) 向量m= 按向量a= 平移后得到的向量仍然为m= . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设 为 所在平面上一点,角 所对边长分别为 ,则（1） 为 的外心 . （2） 为 的重心 . （3） 为 的垂心 . （4） 为 的内心 . （5） 为 的 的旁心 . 71.常用不等式：（1） (当且仅当a＝b时取“=”号)．（2） (当且仅当a＝b时取“=”号)．（3） （4）柯西不等式 （5） . 72.极值定理已知 都是正数,则有（1）若积 是定值 ,则当 时和 有最小值 ；（2）若和 是定值 ,则当 时积 有最大值 . 推广 已知 ,则有 （1）若积 是定值,则当 最大时, 最大；当 最小时, 最小. （2）若和 是定值,则当 最大时, 最小；当 最小时, 最大. 73.一元二次不等式 ,如果 与 同号,则其解集在两根之外；如果 与 异号,则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外,异号两根之间. ； . 74.含有绝对值的不等式 当a> 0时,有 . 或 . 75.无理不等式（1） . （2） . （3） . 76.指数不等式与对数不等式 (1)当 时, ; . (2)当 时, ; 77.斜率公式 （ 、 ）. 78.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点 ,且斜率为 )．（2）斜截式 (b为直线 在y轴上的截距). （3）两点式 ( )( 、 ( )). (4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距, ) （5）一般式 (其中A、B不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 , ① ; ② . (2)若 , ,且A1、A2、B1、B2都不为零, ① ；② ； 80.夹角公式 (1) . ( , , ) (2) . ( , , ). 直线 时,直线l1与l2的夹角是 . 81. 到 的角公式 (1) . ( , , ) (2) . ( , , ). 直线 时,直线l1到l2的角是 . 82．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点 的直线系方程为 (除直线 ),其中 是待定的系数; 经过定点 的直线系方程为 ,其中 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线 , 的交点的直线系方程为 (除 ),其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线 中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程．与直线 平行的直线系方程是 ( ),λ是参变量． (4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是 ,λ是参变量． 83.点到直线的距离 (点 ,直线 ： ). 84. 或 所表示的平面区域设直线 ,则 或 所表示的平面区域是：若 ,当 与 同号时,表示直线 的上方的区域；当 与 异号时,表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 ,当 与 同号时,表示直线 的右方的区域；当 与 异号时,表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 或 所表示的平面区域设曲线 （ ）,则 或 所表示的平面区域是： 所表示的平面区域上下两部分； 所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 . （2）圆的一般方程 ( ＞0). （3）圆的参数方程 . （4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ). 87. 圆系方程 (1)过点 , 的圆系方程是 ,其中 是直线 的方程,λ是待定的系数． (2)过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程是 ,λ是待定的系数．