Question

在三棱锥P-ABC中,PA=PB,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC． （Ⅰ）求证：PA⊥

Answer 1

分析：（1）证明PA⊥平面PBC,只需证明PA⊥BC,PA⊥PB,利用平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,且BC⊥AB,可得BC⊥平面PAB,结论可证；

（2）作PO⊥AB于点O,OM⊥AC于点M,连接PM,可证∠PMO是二面角P-AC-B的平面角,从而可求二面角P-AC--B的一个三角函数值．

（1）证明：

∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,且BC⊥AB,

∴BC⊥平面PAB,

∵PA⊂平面PAB,

∴PA⊥BC；

又∵PA⊥PB,PB∩BC=B

∴PA⊥平面PBC

作PO⊥AB于点O,OM⊥AC于点M,连接PM,

∵平面PAB⊥平面ABC,

∴PO⊥平面ABC,由三垂线定理得PM⊥AC,

∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．

设PA=PB=根号6,

∵PA⊥PB,

∴AB=2根号3PO=BO=AO=根号3

∵OM⊥AM,∠MAO=30°,

∴OM=AOsin30°=AO/2

∴tan∠PMO=PO/OM=AO/OM=2