解题思路：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过原点，可得其表达式可以写成y=ax2+bx，又由直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点，把两点的坐标代入y=kx+4，利用待定系数法即可求得直线的表达式与点B与C的坐标，继而求得抛物线的表达式；
（2）由（1）中直线的解析式，求得A与D的坐标，可得AC=CD=OC=[1/2]AD，即可得C点是△AOD的外心；
（3）通过分析可得P为顶点时，S△OPN面积最大．求得顶点的坐标，根据正弦函数的定义，即可求得sinα的值；
（4）首先过点P作PE⊥x轴于N点，设点P的坐标为（x，-2x2+5x），即可表示出△PON的面积，然后求得△OCN的面积，由△PON的面积等于△OCN面积的[9/16]，即可得方程，解此方程即可求得答案．
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点，
∴其表达式可以写成y=ax2+bx．
∵直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点，把两点的坐标代入y=kx+4，得：
2＝2k+4
m＝k+4，
解得：
k＝−1
m＝3，
∴直线是：y=-x+4，
点B（1，3），C（2，2）代入二次函数的表达式，得：
3＝a+b
2＝4a+2b，
解得：
a＝−2
b＝5，
∴抛物线的表达式为：y=-2x2+5x．
（2）∵y=-x+4，令x=0，y=4；
令y=0，x=4，
∴A（0，4），D（4，0）．
∴AD=
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题考查了一次函数与二次函数的综合应用．此题综合性很强，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式，掌握点与函数的关系，圆的外心的定义，三角函数以及三角形面积的求解方法等知识．注意数形结合思想与方程思想的应用．