Question

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数有f(x+1)=f(1-x)成立. 证明：f(x)是周期为4的周期函数

Answer 1

f(x+1)=f(1-x)

令x=t-1

f(t)=f(t-1+1)=f(1-t+1)=f(2-t)

又有f(x)为奇函数

f(2-t)=-f(t-2)=-f((t-3)+1)=-f(1-(t-3))=-f(4-t)=f(t-4)

因此,

f(t)=f(t-4)

再令t=x+4

f(x)=f(x+4)

因此,f(x)是周期为4的周期函数

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