Question

已知函数f（x）=[1/3]x3+x2+ax-5．

Answer 1

解题思路：（1）求出导函数，令导函数小于等于0或大于等于0在R内恒成立，分离出参数a，求出函数的范围，得到a的范围．

（2）求出导函数，令导函数小于等于0在（-3，1）内恒成立，分离出参数a，求出函数的范围，得到a的范围．

（1）∵f（x）=[1/3]x³+x²+ax-5．

∴f′（x）=x²+2x+a．

∵函数f（x）在（-∞，+∞）总是单调函数，

∴f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，

当f′（x）≥0

即x²+2x+a≥0，

∴a≥-x²-2x=-（x+1）²+1

解得，a≥1，

当f′（x）≤0，

即x²+2x+a≤0恒成立不成立，

故实数a的取值范围是[1，+∞），

（2）∵f（x）=[1/3]x³+x²+ax-5在区间（-3，1）上单调递减，

∴f′（x）=x²+2x+a≤0在区间（-3，1）上恒成立，

即a≤-x²-2x=-（x+1）²+1在在区间（-3，1）上恒成立，

设g（x）=-（x+1）²+1，

∴g（x）min=-3，

∴a≤-3

故实数a的取值范围（-∞，-3]

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质．

考点点评： 本题驻澳考查了函数在区间上的单调性已知求参数的范围的问题，递增时令导函数大于等于0恒成立；递减时，令导数小于等于0恒成立．