在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素.函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的.
术语函数,映射,对应,变换通常都是同一个意思.
简而言之,函数是将唯一的输出值赋予每一输入的“法则”.这一“法则”可以用函数表达式、数学关系,或者一个将输入值与输出值对应列出的简单表格来表示.函数最重要的性质是其决定性,即同一输入总是对应同一输出（注意,反之未必成立）.从这种视角,可以将函数看作“机器”或者“黑盒”,它将有效的输入值变换为唯一的输出值.通常将输入值称作函数的参数,将输出值称作函数的值.
最常见的函数的参数和函数值都是数,其对应关系用函数式表示,函数值可以通过直接将参数值代入函数式得到.如下例,
f(x) = x2 ,x 的平方即是函数值.
也可以将函数很简单的推广到与多个参量相关的情况.例如：
g(x,y) = xy 有两个参量x和y,以乘积xy为值.与前面不同,这一“法则”与两个输入相关.其实,可以将这两个输入看作一个有序对(x, y）,记g为以这个有序对(x, y）作参数的函数,这个函数的值是xy.
科学研究中经常出现未知或不能给出表达式的函数.例如地球上不同时刻温度的分布,这一函数以地点和时间为参量,以某一地点、某一时刻的温度作为输出.
函数的概念并不局限于数的计算,甚至也不局限于计算.函数的数学概念更为宽泛,而且不仅仅包括数之间的映射关系.函数将“定义域”（输入集）与“对映域”（可能输出集）联系起来,使得定义域的每一个元素都唯一对应对映域中的一个元素.函数,如下文所述,被抽象定义为确定的数学关系.由于函数定义的一般性,函数概念对于几乎所有的数学分支都是很基本的.
历史
函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的,以描述曲线的一个相关量,如曲线的斜率或者曲线上的某一点.莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数,数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类.对于可导函数可以讨论它的极限和导数.此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系,是微积分学的基础.
1718年,约翰·贝努里（en:Johann Bernoulli）把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量.”1748年,约翰·贝努里的学生欧拉（Leonhard Euler）在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或[常量]]以任何一种方式构成的解析表达式”.例如f(x) = sin(x) + x3.1775年,欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量,即当后者变化时,前者本身也发生变化,则称前一些量是后一些量的函数.”
19世纪的数学家开始对数学的各个分支作规范整理.维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出将微积分学建立在算术,而不是几何的基础上,因而更趋向于欧拉的定义.
通过扩展函数的定义,数学家能够对一些“奇怪”的数学对象进行研究,例如不可导的连续函数.这些函数曾经被认为只具有理论价值,迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”.稍后,人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用.
到19世纪末,数学家开始尝试利用集合论来规范数学.他们试图将每一类数学对象定义为一个集合.狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）给出了现代正式的函数定义（参见下文#正式定义）.狄利克雷的定义将函数视作数学关系的特例.然而对于实际应用的情况,现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计.
正式定义
从输入值集合X 到可能的输出值集合Y 的函数f（记作 f : X → Y）是X与Y的关系,满足如下条件：
f 是完全 的：对X 中任一元素x 都有集合Y 中的元素y 满足x f y （x 与y 是f 相关的）.即,对每一个输入值,Y 中都有至少一个与之对应的输出值.
f 是多对一 的：若x f y 且x f z ,则y = z .即,多个输入可以映射到一个输出,但一个输入不能映射到多个输出.
定义域中任一x 在对映域中唯一对应的y 记为f(x).
比上面定义更简明的表述如下：从X 映射到Y 的函数f 是X 与Y 的直积X × Y 的子集.X 中任一x 都与Y 中的y 唯一对应,且有序对(x, y)属于f .
X与Y的关系若满足条件(1),则为多值函数.函数都是多值函数,但多值函数不都是函数.X与Y的关系若满足条件(2),则为部分函数.函数都是部分函数,但部分函数不都是函数.除非特别指明,本百科全书中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系.