∫ x² * 3 * e^(-3x) dx
= -∫ x² * e^(-3x) d(-3x)
= -∫ x² de^(-3x)
= - x²e^(-3x) + ∫ e^(-3x) dx²、分部积分法
= - x²e^(-3x) + 2∫ xe^(-3x) dx
= - x²e^(-3x) + 2(-1/3)∫ x de^(-3x)
= - x²e^(-3x) - (2/3)xe^(-3x) + (2/3)∫ e^(-3x) dx、分部积分法
= - x²e^(-3x) - (2/3)xe^(-3x) + (2/3)(-1/3)e^(-3x) + C
= - x²e^(-3x) - (2/3)xe^(-3x) - (2/9)e^(-3x) + C
= (-1/9)(9x² + 6x + 2)e^(-3x) + C,这个是原函数
∫(0~+∞) x² * 3 * e^(-3x) dx
= (-1/9){ lim(x-->+∞) (9x² + 6x + 2)e^(-3x) - [9(0) + 6(0) + 2]e^(0) }
= (-1/9){ 0 - [0 + 0 + 2](1) },Note that lim(x-->+∞) e^(-3x) = 0
= (-1/9)(-2)
= 2/9
∴E(x²) = 2/9,这个是什么函数?
用牛顿-莱布尼茨公式：∫(a~b) f(x) dx = F(b) - F(a),F(x)为f(x)的原函数
对于下限或上限是无穷的反常积分用以下公式：
∫(-∞~b) f(x) dx = lim(a-->-∞) ∫(a~b) f(x) dx = F(b) - [lim(a-->-∞) F(x)]
∫(a~+∞) f(x) dx = lim(b-->+∞) ∫(a~b) f(x) dx = [lim(b-->+∞) F(x)] - F(a)
∫(-∞~+∞) f(x) dx = lim(b-->+∞) ∫(0~b) f(x) - lim(a-->-∞) ∫(a~0) f(x) dx,a≤0≤