Question

大学高数Lim＜（x^2-x+1）^1/2 -ax-b＞=0是x趋近于正无穷时怎么算?

Answer 1

∵lim[(x^2-x+1)^1/2-ax-b]=0

x→+∞

∴lim[(x^2-x+1)^1/2-ax]=b

此处得到隐含条件a>0,否则不会有极限,式不成立

左式进行分子有理化,即分子分母分别乘以[(x^2-x+1)^1/2+ax],得到

lim[(x^2-x+1)^1/2-ax][(x^2-x+1)^1/2+ax]/[(x^2-x+1)^1/2+ax]=b

∴lim[(1-a^2)x^2-x+1]/[(x^2-x+1)^1/2+ax]=b

分子分母分别除x,得到

lim[(1-a^2)x-1+1/x]/[(1-1/x+1/x^2)^1/2+a]=b

显然,1-a^2=0,a=1(舍去a=-1,原因见上述隐含条件)

将a=1代入,得到b=-1/2

此题得解