Question

已知直线l过定点（0,3）,且是曲线y²=4x的动弦P1P2的中垂线,求直线l与动弦P1P2的交点M的轨迹方程

Answer 1

P₁(x₁,y₁),P(x₂,y₂),M(a,b)

y²=4x,y₁²= 4x₁

y²=4x,y₂²= 4x₂

(x₁- a)² + (y₁- b)² = (x₂- a)² + (y₂- b)²

化简得：

(1/16)(y₁²+ y₂²)(y₁+ y₂)+(1 - a/2)(y₁+ y₂) - 2b = 0

(y₁- y₂)/(x₁- x₂) = a/(3 - b)

(y₁- y₂)/¼(y₁²- y₂²) = a/(3 - b)

∴y₁+ y₂= (12 - 4b)/a

代入上式得：

(1/16)(y₁²+ y₂²)(12 - 4b)/a+(1 - a/2)(12 - 4b)/a - 2b = 0

化简得：

b = 6/(2 + a)

将a,b换成x,y 得到轨迹方程：

y = 6/(x + 2)

¹²³⁴√ⁿ₁₂₃₄