（2014•上海模拟）若an是（2+x）n（n∈N - 知识问答

（2014•上海模拟）若an是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的系数，则limn→∞(22a2+2

1个回答

解题思路：由题意可得x²项的系数为
C
2
n
•2
n−2
，即a_n=
C
2
n
•2
n−2
．再把要求的式子
lim
n→∞
(
2
2
a
2
+
2
3
a
3
+…+
2
n
a
n
)
化为
lim
n→∞
4•(
1
1
+
1
C
2
3
+…+
1
C
2
n
)
，即
lim
n→∞
8•(1−
1
n
)
，从而得到结果．
∵a_n是（2+x）ⁿ（n∈N^*，n≥2，x∈R）展开式中x²项的系数，
又（2+x）ⁿ的展开式的通项公式为T_r+1=
Crn•2^n-r•x^r，令r=2，可得x²项的系数为
C2n•2n−2．
∴a_n=
C2n•2n−2．
∴
lim
n→∞(
22
a2+
23
a3+…+
2n
an)=
lim
n→∞(
22
1+
23
C2n•2+…+
2n
C2n•2n−2)
=
lim
n→∞(
22
1+
22
C23+…+
22
C2n)=
lim
n→∞4•(
1
1+
1
C23+…+
1
C2n)
=
lim
n→∞4•(
1
1+
2
2×3+
点评：
本题考点：二项式系数的性质；极限及其运算．
考点点评：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，极限及其运算，属于中档题．

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