由于A^3=2E
所以B^-1可以由A的最高次项为A^2的多项式表示
即B^-1=aA^2+bA+cE
则B^-1B=(A^2-2A+2E)(aA^2+bA+cE)=E
即 aA^4+bA^3+cA^2-2aA^3-2bA^2-2cA+2aA^2+2bA+2cE=E.
所以 2aA+2bE+cA^2-4aE-2bA^2-2cA+2aA^2+2bA+2cE=E.
所以 (2a-2b+c)A^2+(2a+2b-2c)A+(-4a+2b+2c)E=E
所以
2a-2b+c=0
a+b-c=0
2a-b-c=1
有唯一解 a=-1/5,b=-3/5,c=-4/5.
所以 B可逆, 且 B^-1=(-1/5)(A^2+3A+4E).