Question

已知数列{an}中a1=0，an+1=an+2n（n=1，2，3，…）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由a₁=0，a_n+1=a_n+2n可求得a₂、a₃、a₄；

（Ⅱ）由于a_n-a_n-1=2（n-1），（n≥2），可采用累加法得：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…（a₂-a₁）+a₁，从而可求得a_n．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可求得a_n=n²-n，于是

b

n

＝(

a

n

n

+1)•

2

n

=n•2ⁿ，其前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①

2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②将①②两个式子利用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和．

（Ⅰ）由已知得a₂=a₁+2=2，a₃=a₂+4=6，a₄=a₃+6=12．

（Ⅱ）由已知得a_n+1-a_n=2n．所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2(n−1)+2(n−2)+…+2＝

(2+2(n−1))•n

2＝n2−n，

（Ⅲ）∵a_n=n²-n，

∴bn＝(

an

n+1)•2n=n•2ⁿ，

∴数列{b_n}前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①

2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②

①-②得-S_n=2+2²+2³+…2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
∴−Sn＝

2−2n+1

1−2−n×2n+1，

∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的函数特性．

考点点评： 本题考查数列的求和，着重考查数列的“累加法”求和与“错位相减法”求和，属于中档题．