Question

如果有穷数列a1，a2，a3，…，am（m为正整数）满足条件a1=am，a2=am-1，…，am=a1，即ai=am-i

Answer 1

解题思路：（1）由b₁，b₂，b₃，b₄为等差数列，且b₁=2，b₄=11，先求b₁，b₂，b₃，b₄，然后由对称数列的特点可写出数列的各项．

（2）由c₂₅，c₂₆，…，c₄₉是首项为1，公比为2的等比数列，先求出c₂₅，c₂₆，…，c₄₉通项，结合对称数列的对应项相等的特点，可知前面的各项，结合等比数列的求和公式可求出数列的和

（3）由d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首项为2，公差为3的等差数列，可求该数列d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀的通项，由对称数列的特点，结合等差数列的特点，求数列的和

（1）设数列{b_n}的公差为d，则b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，

∴数列{b_n}为2，5，8，11，8，5，2．

（2）S=c₁+c₂+…+c₄₉=2（c₂₅+c₂₆+…+c₄₉）-c₂₅=2（1+2+2²+…+2²⁴）-1=2（2²⁵-1）-1=2²⁶-3=67108861．

（3）d₅₁=2，d₁₀₀=2+3×（50-1）=149．

由题意得d₁，d₂，，d₅₀是首项为149，公差为-3的等差数列．

当n≤50时，S_n=d₁+d₂+…+d_n=149n+

n(n−1)

2(−3)＝−

3

2n2+

301

2n．

当51≤n≤100时，S_n=d₁+d₂+…+d_n=S₅₀+（d₅₁+d₅₂+…+d_n）

=3775+2•(n−50)+

(n−50)(n−51)

2×3=[3/2n2−

299

2n+7500

综上所述，Sn＝

−

3

2n2+

301

2n，1≤n≤50

3

2n2−

299

2n+7500，51≤n≤100]

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的概念及简单表示法．

考点点评： 本题以新定义对称数列为切入点，运用的知识都是数列的基本知识：等差数列的通项及求和公式，等比数列的通项及求和公式，还体现了分类讨论在解题中的应用．