如图,已知:⊙O是△ABC的外接圆,半径长为5,点D、E分别是边AB和边AC的中点,AB=AC,BC=6.求∠OED的正

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  • 连接OA交DE于F,连接OD

    ∵D是AB的中点,E是AC的中点

    ∴DE=½BC=3(中位线定理)

    OE⊥AC(垂径定理)

    ∵AB=AC

    ∴OD=OE(弦相等,弦心踞相等)

    AD=AE

    又∵AO=AO

    ∴△ADO≌△AEO(SSS)

    ∴∠DAO=∠EAO

    ∴AO⊥DE,EF=½DE=1.5(等腰三角形三线合一)

    设OF=α,则AF=5-α

    根据射影定理

    EF²=OF×AF

    1.5²=α(5-α)

    α²-5α+2.25=0

    α=4.5或α=0.5

    ∵BC和点A在圆心O的异侧,∠BAC<90,∠OEF=∠OAE=½∠BAC<45°

    ∴∠OEF<∠EOF

    ∴OF<EF

    取α=0.5

    tan∠OED=OF/EF=1/3

    【此题若是BC和点A在圆心O的同侧,则tan∠OED=3】