Question

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且an+1=2Sn+1（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）根据a₁=1且a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），类比可得a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），两式相减即可；

（2）由（1）知a_n=3^n-1，可求

c

n

＝

n−1

2

•

3

n−1

，

T

n

＝0+

1

2

•3+

2

2

•

3

2

+…+

n−1

2

•

3

n−1

，利用错位相减法即可求得T_n．

（1）由已知得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），

两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*）．

又a₂=2S₁+1=2a₁+1=3=3a₁，所以a_n+1=3a_n（n∈N^*）

所以数列{a_n}是以1为首项，公比为3的等比数列．

（2）由（1）知a_n=3^n-1，于是cn＝3n−1log93n−1＝

n−1

2•3n−1，于是Tn＝0+

1

2•3+

2

2•32+…+

n−1

2•3n−1，

3Tn＝0•3+

1

2•32+…+

n−2

2•3n−1+

n−1

2•3n，

相减得：−2Tn＝

1

2•3+

1

2•32+…+

1

2•3n−1−

n−1

2•3n＝

3

2(1−3n−1)

1−3−

n−1

2•3n

解得：Tn＝

2n−3

8•3n+

3

8．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查数列的求和，重点考查学生的等差数列的通项公式与等比数列的求和公式，着重考查学生的错位相减法求和，属于中档题．