Question

已知p是奇质数,1+1/2+1/3+…+1/p-1=a/b,求证：分子a能被p整除

Answer 1

对左边通分,公分母为：1*2*3*……*(p-1)

∵p>p-1且p为质数

∴公分母1*2*3*……*(p-1)不是p的倍数

左边首尾相加得：

1+1/(p-1)=p/(p-1)

1/2+1/(p-2)=p/2(p-2)

1/3+1/(p-3)=P/3(p-3)

1/n+1/(p-n)=P/n(p-n)

由于1*2*3*……*(p-1)为偶数项,可以两两配对

故作边相加所得分子必为p的倍数

又∵左边=a/b,(a,b)=1

∴p∣a