Question

已知函数f(x)=(x/(a+1)-1）^k+(a/x-1)^k(x>0,a>0,k∈N*)

Answer 1

(1)f(x)=x/(a+1)+a/x-2>=2√[a/(a+1)]-2,当x^2=a(a+1)时,等号成立.

所以,f(x)的最小值是2√[a/(a+1)]-2.

(2)f(x)=)=[x/(a+1)-1]^2+(a/x-1)^2

设x/(a+1)-1=u、a/x-1=v.则x/(a+1)=u+1、a/x=v+1.

(u+1)(v+1)=a/(a+1),v=[a/(a+1)]/(u+1)-1

在平面uOv中,v=[a/(a+1)]/(u+1)-1是反比例函数v=[a/(a+1)]/u向左并向下各平移一个单位.

目标函数f(x)=u^2+v^2与v=[a/(a+1)]/(u+1)-1有公共点时,u=v.

当u=v时,v=[a/(a+1)]/(u+1)-1上的点是P(√[a/(a+1)]-1,√[a/(a+1)]-1)为公共点.

此时,f(x)的最小值g(a)=2(√[a/(a+1)]-1)^2

若g(a)=2(√[a/(a+1)]-1)^2