第一个符合条件的整数是52个
52+105n（n=1,2,3.)答案为无数多个
没有统一的公式,思路大致是这样的：
被三除余1的数：1,4,7,10.
被5除余2的数：2,7,12,17.
很容易看出7符合前两个条件,但是他被7除不余3
那么下一个被三除余1,被5除余2的数是7+15（5和3的最小公倍数）
如果不符合,就继续加,发现7+45=52,符合七人分余三
那么以此类推,下一个符合题意的数是52+105（3,5,7的最小公倍数）
这道题目有些类似于韩信点兵问题,就是同余问题,如果楼主有兴趣,可以看看我给的链接.
5*7*2=70被三除余一
3*7*2=42被五除余二
3*5*3=45被七除余三
70+42+45-3*5*7=52