解题思路：（1）求导函数，利用导数的几何意义，确定切线的斜率，结合切点的坐标，可得切线方程；
（2）求导函数，利用函数g（x）=f'（x）+alnx在x∈[2，+∞）上单调递增，可得g′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，分离参数，利用求最值，即可确定实数a的取值范围；
（3）令f'（x）=0可得x=0或x=[3/a]＞0，根据
x∈[−
1
2
，
1
2
]
，分类讨论，确定函数的单调性，求出函数的最小值，建立不等式组，即可求得实数a的取值范围．
求导函数，可得f′（x）=ax2-3x（a＞0，x∈R）
（1）当a=1时，f′（x）=x2-3x，f(x)＝
1
3x3−
3
2x2+1
∴f′(2)＝−2，f(2)＝−
7
3
∴切线方程为y+
7
3＝−2(x−1)，即y＝−2x+
5
3
（2）g（x）=f'（x）+alnx=ax2-3x+alnx（a＞0，x∈R）
∵函数g（x）=f'（x）+alnx在x∈[2，+∞）上单调递增，
∴g′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立
即a≥
3x
2x2+1在x∈[2，+∞）上恒成立
设h(x)＝
3x
2x2+1，则h′(x)＝
3−6x2
(2x2+1)2
∵x≥2，∴h′（x）＜0
∴函数h（x）在x∈[2，+∞）上单调减
∴h(x)≤h(2)＝
2
3
∴实数a的取值范围为a≥
2
3；
（3）令f'（x）=0可得x=0或x=[3/a]＞0
∵x∈[−
1
2，
1
2]，f（−
1
2）=−
a
24+
5
8，f（[1/2]）=[a/24+
5
8]，f（[3/a]）=1-[9
2a2，f（0）=1
①
3/a＜
1
2]，即a＞6时，函数在（−
1
2，0），(
3
a，
1
2)上单调增，(0，
3
a)上单调减
∴要使在区间x∈[−
1
2，
1
2]上，f（x）＞0恒成立，只需
−
a
24+
5
8＞0
1−
9
2a2＞0
a＞6，∴6＜a＜15；
②当[3/a≥
1
2]时，即0＜a≤6，函数在（−
1
2，0）上单调增，(0，
1
2)上单调减
∴要使在区间x∈[−
1
2，
1
2]上，f（x）＞0恒成立，只需
−
a
24+
5
8＞0
a
24+
5
8＞0
0＜a≤6，∴0＜a≤6；
综上①②可知，0＜a＜15．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查函数的单调性，正确求导，恰当分类是关键．