(Ⅰ)记“该射手向甲靶射击一次并击中”为事件A,
“该射手向乙靶射击一次并击中”为事件B,
则由题意得,
P(AB)=
8
15
P(
.
A
.
B )=
1
15 ,
由各次射击结果互不影响得
P(A)P(B)=
8
15
P(
.
A )P(
.
B )=
1
15 ,
即
p 1 p 2 =
8
15
(1- p 1 )(1- p 2 )=
1
15 ,
解得 p 1 =
4
5 , p 2 =
2
3 .…(3分)
(Ⅱ)η的所有可能取值为0,1,2,3,6.…(4分)
记“该射手第i次射击击中目标”为事件A i(i=1,2,3),
则 P(η=0)=P(
.
A 1
.
A 2
.
A 3 )=(1-
2
3 ) 3 =
1
27 , P(η=1)=P( A 1
.
A 2
.
A 3 +
.
A 1 A 2
.
A 3 +
.
A 1
.
A 2 A 3 )=P( A 1
.
A 2
.
A 3 )+P(
.
A 1 A 2
.
A 3 )+P(
.
A 1
.
A 2 A 3 )
=
2
3 ×(1-
2
3 ) 2 +(1-
2
3 )×
2
3 ×(1-
2
3 )+(1-
2
3 ) 2 ×
2
3 =
2
9 , P(η=2)=P( A 1
.
A 2 A 3 )=
2
3 ×(1-
2
3 )×
2
3 =
4
27 , P(η=3)=P( A 1 A 2
.
A 3 +
.
A 1 A 2 A 3 )=P( A 1 A 2
.
A 3 )+P(
.
A 1 A 2 A 3 )=(
2
3 ) 2 ×(1-
2
3 )+(1-
2
3 )×(
2
3 ) 2 =
8
27 , P(η=6)=P( A 1 A 2 A 3 )=(
2
3 ) 3 =
8
27 .
所以η的分布列为:
η 0 1 2 3 6
P
1
27
2
9
4
27
8
27
8
27 …(9分)
(Ⅲ)考察不等式
P(X=k+1)
P(X=k) =
C k+1n p k+1 (1-p) n-k-1
C kn p k (1-p) n-k =
n-k
k+1 •
p
1-p ≥1 ,
得k≤(n+1)p-1.
①如果(n+1)p是正整数,那么(n+1)p-1也是正整数.
此时,可以使:k=(n+1)p-1,即k+1=(n+1)p,
且P(X=k+1)=P(X=k).
则当k取(n+1)p或(n+1)p-1时,P(X=k)取最大值.
②如果(n+1)p不是正整数,那么不等式
P(X=k+1)
P(X=k) ≥1 不可能取等号.
所以,对任何k,P(X=k+1)≠P(X=k).
所以,当k+1<(n+1)p时,P(X=k+1)>P(X=k).
记小于(n+1)p的最大整数为[(n+1)p],
则当k=[(n+1)p]时,P(X=k)取最大值.
综上可知,如果(n+1)p是正整数,当k取(n+1)p或(n+1)p-1时,P(X=k)取最大值;
如果(n+1)p不是正整数,当k=[(n+1)p]时,P(X=k)取最大值.…(14分)