现有甲、乙两个靶,某射手进行射击训练,每次射击击中甲靶的概率是p 1 ,每次射击击中乙靶的概率是p 2 ,其中p 1 >

1个回答

  • (Ⅰ)记“该射手向甲靶射击一次并击中”为事件A,

    “该射手向乙靶射击一次并击中”为事件B,

    则由题意得,

    P(AB)=

    8

    15

    P(

    .

    A

    .

    B )=

    1

    15 ,

    由各次射击结果互不影响得

    P(A)P(B)=

    8

    15

    P(

    .

    A )P(

    .

    B )=

    1

    15 ,

    p 1 p 2 =

    8

    15

    (1- p 1 )(1- p 2 )=

    1

    15 ,

    解得 p 1 =

    4

    5 , p 2 =

    2

    3 .…(3分)

    (Ⅱ)η的所有可能取值为0,1,2,3,6.…(4分)

    记“该射手第i次射击击中目标”为事件A i(i=1,2,3),

    则 P(η=0)=P(

    .

    A 1

    .

    A 2

    .

    A 3 )=(1-

    2

    3 ) 3 =

    1

    27 , P(η=1)=P( A 1

    .

    A 2

    .

    A 3 +

    .

    A 1 A 2

    .

    A 3 +

    .

    A 1

    .

    A 2 A 3 )=P( A 1

    .

    A 2

    .

    A 3 )+P(

    .

    A 1 A 2

    .

    A 3 )+P(

    .

    A 1

    .

    A 2 A 3 )

    =

    2

    3 ×(1-

    2

    3 ) 2 +(1-

    2

    3 )×

    2

    3 ×(1-

    2

    3 )+(1-

    2

    3 ) 2 ×

    2

    3 =

    2

    9 , P(η=2)=P( A 1

    .

    A 2 A 3 )=

    2

    3 ×(1-

    2

    3 )×

    2

    3 =

    4

    27 , P(η=3)=P( A 1 A 2

    .

    A 3 +

    .

    A 1 A 2 A 3 )=P( A 1 A 2

    .

    A 3 )+P(

    .

    A 1 A 2 A 3 )=(

    2

    3 ) 2 ×(1-

    2

    3 )+(1-

    2

    3 )×(

    2

    3 ) 2 =

    8

    27 , P(η=6)=P( A 1 A 2 A 3 )=(

    2

    3 ) 3 =

    8

    27 .

    所以η的分布列为:

    η 0 1 2 3 6

    P

    1

    27

    2

    9

    4

    27

    8

    27

    8

    27 …(9分)

    (Ⅲ)考察不等式

    P(X=k+1)

    P(X=k) =

    C k+1n p k+1 (1-p) n-k-1

    C kn p k (1-p) n-k =

    n-k

    k+1 •

    p

    1-p ≥1 ,

    得k≤(n+1)p-1.

    ①如果(n+1)p是正整数,那么(n+1)p-1也是正整数.

    此时,可以使:k=(n+1)p-1,即k+1=(n+1)p,

    且P(X=k+1)=P(X=k).

    则当k取(n+1)p或(n+1)p-1时,P(X=k)取最大值.

    ②如果(n+1)p不是正整数,那么不等式

    P(X=k+1)

    P(X=k) ≥1 不可能取等号.

    所以,对任何k,P(X=k+1)≠P(X=k).

    所以,当k+1<(n+1)p时,P(X=k+1)>P(X=k).

    记小于(n+1)p的最大整数为[(n+1)p],

    则当k=[(n+1)p]时,P(X=k)取最大值.

    综上可知,如果(n+1)p是正整数,当k取(n+1)p或(n+1)p-1时,P(X=k)取最大值;

    如果(n+1)p不是正整数,当k=[(n+1)p]时,P(X=k)取最大值.…(14分)