解 用极限观点.在边长为1的正三角形ABC的边AB上截取AD=5（1+ε）/6,在AC上截取AE=5（1+ε）/6.把三角形ADE剖分成25个全等的小三角形,这些小三角形的顶点共1+2+……+6=21个,其中任意两个的距离不小于（1+ε）/6,这里ε是任意小的正数.
要底为（1+ε）/6、腰为1/6的等腰三角形的高>梯形BCED的高,即
√{（1/6）2-[（1+ε）/12]2}>√3/2-√3*5(1+ε)/12,
两边都乘以12,得
√(3-2ε-ε2)>√3*(1-5ε),
平方得
3-2ε-ε2>3(1-10ε+25ε2),
化简得28ε-76ε2>0,
因ε为任意小的正数,故上式成立,又上述推理可逆,所以底为（1+ε）/6、腰为1/6的等腰三角形的高>梯形BCED的高.于是以DE上6个顶点为圆心,1/6为半径作充分大的扇形,就可覆盖梯形BCED.在梯形BCED中任意放入一点,它必与DE上6个顶点之一的距离小于1/6.
总之,在边长为1的正三角形内,至少放置22个点就可以保证其中必有两个点,它们之间的距离不大于六分之一.
一般地,在边长为1的正三角形内,至少放置n(1+n)/2+1个点就可以保证其中必有两个点,它们之间的距离不大于n分之一,这里n是大于2的整数；在边长为1的正三角形内,至少放置（n+1）（n+2）/2+1个点就可以保证其中必有两个点,它们之间的距离小于n分之一, 这里n是大于3的整数.