Question

已知椭圆C：x216+y29=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的

Answer 1

解题思路：设弦中点为M（x，y），交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．故（y₂-y₁）（x-1）=（x₂-x₁）（y-2）．再由点差法知

2x(

x

1

−

x

2

)

16

=-

2y(

y

1

−

y

2

)

9

，由此可得：9x²+16y²-9x-32y=0．

设弦中点为M（x，y），交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．

∴（y₂-y₁）（x-1）=（x₂-x₁）（y-2），①

由

x12

16+

y12

9=1，

x22

16+

y22

9=1两式相减得

(x1−x2) (x1+x2)

16+

(y1−y2)(y1+y2)

9=0．

又x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，

∴

2x(x1−x2)

16=-

2y(y1−y2)

9，②

由①②可得：9x²+16y²-9x-32y=0，③

当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2）适合方程③，

∴弦中点的轨迹方程为：9x²+16y²-9x-32y=0．

点评：

本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用．