Question

数列{a n }的前n项和为S n ，且S n = 3 2 （a n -l），数列{b n }满足b n = 1 4 b

Answer 1

（1）对于数列{a _n}，当n=1时， a 1 = S 1 =

3

2 ( a 1 -1) ，解得a ₁=3．

当n≥2时，a _n=S _n-S _n-1=

3

2 ( a n -1)-

3

2 ( a n-1 -1) ，化为a _n=3a _n-1．

∴数列{a _n}是首项为3，公比为3的等比数列，

∴ a n =3× 3 n-1 = 3 n ．

对于数列{b _n}满足b _n=

1

4 b n-1 -

3

4 （n≥2），b ₁=3．

可得 b n +1=

1

4 ( b n-1 +1) ．

∴数列{b _n+1}是以b ₁+1=4为首项，

1

4 为公比的等比数列．

∴ b n +1=4×(

1

4 ) n-1 ，化为 b n = 4 2-n -1 ．

（2） c n = 3 n •lo

g ( 4 2-n -1+1)2 =3 ⁿ（4-2n）

∴ T n =2× 3 1 +0+(-2)• 3 3 + …+（4-2n）•3 ⁿ．

3 T n =2× 3 2 +0+(-2)× 3 4 + …+（6-2n）•3 ⁿ+（4-2n）•3 ⁿ⁺¹．

∴ -2 T n =6+(-2)• 3 2 +(-2)• 3 3 +…+（-2）•3 ⁿ-（4-2n）•3 ⁿ⁺¹

=6-2×

3 2 ( 3 n-1 -1)

3-1 -（4-2n）•3 ⁿ⁺¹．

∴ T n =-

15

2 +(

5

2 -n)• 3 n+1 ．