Question

一束光线从点F 1 （-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F 2 （1，0）．

Answer 1

（Ⅰ）设F ₁的坐标为（m，n），则

n

m+1 =-

1

2 且 2•

m-1

2 -

n

2 +3=0 ．

解得 m=-

9

5 ，n=

2

5 ，因此，点F ₁′的坐标为（-

9

5 ，

2

5 ）．

（Ⅱ）∵|PF ₁′|=|PF ₁|，根据椭圆定义，

得2a=|PF ₁′|+|PF ₂|=|F ₁F ₂|=

(-

9

5 -1) 2 + (

2

5 -0) 2 =2

2 ，

∴ a=

2 ，b=

2-1 =1 ．∴所求椭圆方程为

x 2

2 + y 2 =1 ．

（Ⅲ）∵

a 2

c =2 ，∴椭圆的准线方程为x=±2．

设点Q的坐标为（t，2t+3）（-2＜t＜2），d ₁表示点Q到F ₂的距离，d ₂表示点Q到椭圆的右准线的距离．

则 d 1 =

(t-1) 2 + (2t+3) 2 =

5 t 2 +10t+10 ，d ₂=|t-2|．

d 1

d 2 =

5 t 2 +10t+10

|t-2| =

5•

t 2 +2t+2

(t-2) 2 ，令 f(t)=

t 2 +2t+2

(t-2) 2 ，(-2＜t＜2) ，则 f ′ (t)=

(2t+2) (t-2) 2 -( t 2 +2t+2)•2(t-2)

(t-2) 4 =

-(6t+8)

(t-2) 3 ，

∵当 -2＜t＜-

4

3 ， f ′ (t)＜0 ， -

4

3 ＜t＜2， f ′ (t)＞0 ，t=-

4

3 ，f′（t）＞0．

∴f（t）在t=-

4

3 时取得最小值．

因此，

d 1

d 2 最小值=

5•f(-

4

3 ) =

2

2 ，此时点Q的坐标为（-

4

3 ，

1

3 ）（14分）