设数列{an}中，a1=a，an+1+2an=2n - 知识问答

设数列{an}中，a1=a，an+1+2an=2n+1（n∈N*）．

1个回答

解题思路：（Ⅰ）根据a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹，对n取值，再利用a₁，a₂，a₃成等差数列，即可求实数a的值；
（Ⅱ）条件等价于
a
n+1
2
n+1
−
1
2
＝−(
a
n
2
n
−
1
2
)
，故若
{
a
n
2
n
−
1
2
}
是以
a
1
2
−
1
2
＝
a
2
−
1
2
为首项，-1为公比的等比数列，则必须首项不为0，从而可得结论．
（Ⅰ）∵a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹，
∴a₂+2a₁=2²，a₃+2a₂=2³，
∴a₂=-2a+4，a₃=4a，
∵2a₂=a₁+a₃，∴2（-2a+4）=a+4a，∴a＝
8
9（4分）
（Ⅱ）因为an+1+2an＝2n+1(n∈N*)，所以
an+1
2n+1+
an
2n＝1，（6分）
得：
an+1
2n+1−
1
2＝−(
an
2n−
1
2)，故若{
an
2n−
1
2}是以
a1
2−
1
2＝
a
2−
1
2为首项，-1为公比的等比数列，则必须a≠1．
故a≠1时，数列{
an
2n−
1
2}为等比数列，此时an＝2n[
1
2+(
a
2−
1
2)•(−1)n−1]，否则当a=1时，数列{
an
2n−
1
2}的首项为0，该数列不是等比数列．
点评：
本题考点：数列递推式；等比关系的确定．
考点点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的判断，考查学生的计算能力，属于中档题．

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