Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且对于任意的n∈N * ，恒有S n =2a n -n，设b n =log 2

Answer 1

（1）当n=1时，S ₁=2a ₁-1，得a ₁=1．（1分）

∵S _n=2a _n-n，

∴当n≥2时，S _n-1=2a _n-1-（n-1），

两式相减得：a _n=2a _n-2a _n-1-1，

∴a _n=2a _n-1+1．（3分）

∴a _n+1=2a _n-1+2=2（a _n-1+1），（5分）

∴{a _n+1}是以a ₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．（6分）

（2）由（1）得a _n+1=2•2 ^n-1=2 ⁿ，∴a _n=2 ⁿ-1，n∈N ^*．（8分）

∴b _n=log ₂（a _n+1）=log ₂2 ⁿ=n，n∈N ^*． （10分）

（3） c n =

2 n

a n a n+1 ， c n+1 =

2 n+1

a n+1 a n+2 ①

c n+1 - c n =

2 n+1

( 2 n+1 -1)( 2 n+2 -1) -

2 n

( 2 n -1)( 2 n+1 -1)

=

-2× 4 n - 2 n

( 2 n+1 -1)( 2 n+2 -1)( 2 n -1) ＜0

∴数列{c _n}单调递减．（12分）

∴①n=1时数列{c _n}的最大值为 c 1 =

2

3 ．（14分）

②由 c n =

2 n

( 2 n -1)( 2 n+1 -1) =

1

2 n -1 -

1

2 n+1 -1 ，（16分）

所以c ₁+c ₂+…+c _n= 1-

1

2 n+1 -1 ．∴

lim

n→∞ ( c ₁+c ₂+…+c _n）=1．（18分）