(1)当x∈[1,2)时,f(x)=e^x+a(2-x), 则f'(x)=e^x-a
∵ 0＜a≤e
∴ f'(x)≥f'(1)=e-a≥0
∴ f(x)在x∈[1,2)上递增,f(x)最小值=f(1)=e+a
当x∈[2,+∞)时,f(x)=e^x+a(x-2),则f'(x)=e^x+a
∵ 0＜a≤e
∴ f'(x)≥f'(2)=e²+a＞0
∴ f(x)在x∈[2,+∞)上递增,f(x)最小值= f(2)=e²+a(2-2)=e²
综上在x∈［1,+∞)上,f(x)最小值=f(1)=e+a=e+1,即有a=1.
(2)证：不等式f(x))=e^x+a|x-2|≥x在x∈(-∞,2]上恒成立
等价于e^x-x≥a(x-2)在x∈(-∞,2]上恒成立
当x=2时,不等式化为e²-2≥a(2-2)=0
即∀x∈R,不等式f(x)≥x恒成立,
当x∈(-∞,2)时,不等式可化为a≥(e^x-x)/(x-2)=[(e^x-2)/(x-2)]-1
设g(x)=[(e^x-2)/(x-2)]-1在x∈(-∞,2)内取得最大值a0,
记k=(e^x-2)/(x-2),则k可以看作是定点A(2,2) 到函数y=e^x,
x∈(-∞,2)上的点P(x,e^x)的连线的斜率,由几何意义知,当直线AP
与曲线y=e^x,x∈(-∞,2)相切时k取最大值,切点记为(x0,e^x0),
则a0=g(x0)=[(e^x0-2)/(x0-2)]-1
∵ y'=e^x,由导数的几何意义,e^x0=(e^x0-2)/(x0-2)
即x0e^x0-3e^x0+2=0
设h(x)=xe^x-3e^x+2,则h'(x)=xe^x-2e^x=(x-2)e^x＜0,x∈(-∞,2)
∴ h(x)在x∈(-∞,2)内连续且单调递减
又∵ h(0)=0·e^0-3e^0+2=-1＜0,
h(-ln2)=(-ln2)e^(-ln2)-3e^(-ln2)+2=(1-ln2)/2＜0
∴ 由根的存在性定理,x0∈(-ln2,0),e^x0∈(1/2,1)
a0=g(x0)=[(e^x0-2)/(x0-2)]-1=e^x0-1∈(-1/2,0)
综上可知,符合题设的a的取值范围为a∈［a0,+∞),且-1/2＜a0＜0.
ps：希望“雨的眼泪陈”同学仔细检查,看有无漏洞,不足之处请指正,可追问!