Question

当X>0时,函数f(X)=X+(1/X)+(X/X^2+1)的最小值等于?

Answer 1

x>0

想到均值不等式

f(x)=x+ 1/x +x/(x^2+1)

=x+1/x+ 1/(x+1/x)

∵x>0

∴x+1/x>0

∴x+1/x+ 1/(x+1/x)≥2√1=2

当且仅当x+1/x=1取等

此时x²-x+1=0无实根,所以不能用均值,只能用单调性

设t=x+1/x

此时又是一个均值不等式

x+1/x≥2√1=2

x=1取等

∴t的范围是[2,+∞)

f(x)=t+1/t,

∵f(x)在(0,1]减,[1,+∞)增

∴f(x)最小值=f(2)=2+1/2=5/2