Question

已知数列(an)中,a1=1,n大于等于2时,an=an-1/3an+1+2,求通项an

Answer 1

a[n+1]＝2an+3a[n-1] 注：[ ]中的n+1、n-1均为下脚标.两边各加an得：a[n+1]+an＝3an+3a[n-1]=3(an+a[n-1])令bn=an+a[n+1],则有：bn=3b[n-1]且b1=a1+a2=4,其中n≥2且n∈N*∴{bn}为等比数列,q=3,首项b1=4bn=4*3^(n-1) 注：^后面的为上标即：an+a[n+1]＝4*3^(n-1) (n≥1)移项,变换,右式拆分得：a[n+1]-3^n＝-an+3^(n-1)令Cn＝an -3^(n-1) 代入上式得：C[n+1]＝-Cn∴{Cn}为等比数列,q=-1,C1＝a1-1＝1Cn＝(-1)^(n-1)亦即：an -3^[n-1]＝(-1)^(n-1)∴an＝3^(n-1) - (-1)^n令n=1,2分别代入得a1=a2=2成立,故有：an＝3^(n-1) - (-1)^n (n∈N*) an可以看成2个等比数列的差Sn＝1+3+9+……+3^(n-1) －[-1+1-1+……+(-1)^n]前面一部为(3^n -1)/2；后面一部分当n为偶数时,和为0,n为奇数时,和为 1∴ Sn＝ (3^n -1)/2 (n为偶数)或 Sn＝ (3^n +1)/2 (n为奇数)