解题思路：幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形．本题可先求导，再利用函数[1/1−x]的幂级数展开
1
1−x
＝1+x+
x
2
+…+
x
n
+…
即可，然后取x为某特殊值，得所求级数的和．
因为：f′(x)＝−
2
1+4x2＝−2
∞
n＝0(−1)n4nx2n，x∈(−
1
2，
1
2)，
而f（0）=[π/4]，
所以：
f(x)＝f(0)+
∫x0f′(t)dt＝
π
4−2
∫x0[
∞
n＝0(−1)n4nt2n]dt=
π
4−2
∞
n＝0
(−1)n4n
2n+1x2n+1，x∈(−
1
2，
1
2)，
由于级数
∞
n＝0
(−1)n
2n+1收敛，函数f（x）在x＝
1
2处连续，
所以：f(x)＝
π
4−2
∞
n＝0
(−1)n4n
2n+1x2n+1，x∈(−
1
2，
1
2]，
令x＝
1
2，得：f(
1
2)＝
π
4−2
∞
n＝0[
(−1)4n
2n+1•
1
22n+1]＝
π
4−
∞
n＝0
(−1)n
2n+1，
再由：f(
1
2)＝0，得：
∞
n＝0
(−1)n
2n+1＝
π
4−f(
1
2)＝
π
4．
点评：
本题考点： 数项级数求和；间接法将函数展开成幂级数．
考点点评： 本题考查了利用间接法将函数展开成幂级数的方法，需要熟记常用函数的幂级数展开式．