一道数型结合的数学题已知与圆C X方+Y方-2X-2Y+1=0相切的直线l 分别交与X Y坐标轴于A B两点.O为原点,
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1个回答

  • x^2+y^2-2x-2y+1=0

    =>

    (x-1)^2+(y-1)^2=1

    =>

    该圆以(1,1)为圆心,1为半径

    设圆心P

    问题一:

    做PQ垂直于AB于Q点,PM垂直于AO于M点,PN垂直于OB于N点

    连接PB,PA,PO

    欲证

    (a-2)(b-2)=2

    须证

    ab-2a-2b+2=0

    欲证

    ab-2a-2b+2=0

    须证

    a*b/2-(1*a/2)*2-(1*b/2)*2+1*1=0

    其中

    a*b/2就是三角形ABO面积

    1*a/2就是三角形OPA面积

    1*b/2就是三角形OPB面积

    1*1就是正方形NPMO面积

    根据pma与pqa全等以及bpn与bpq全等可得

    abo-2opa-2opb

    =abo-(opa+qpa+opm)-(opb+bpq+npo)

    =(abo-opa-qpa-opb-bpq)-(opm+opn)

    =0-onpm

    =-1

    于是

    abo-2opa-2opb+1=0

    于是

    a*b/2-(1*a/2)*2-(1*b/2)*2+1*1=0

    于是

    ab-2a-2b+2=0

    于是

    (a-2)(b-2)=2

    证明完毕.

    问题二:

    设直线AB方程式为ax+by+c=0

    AB与圆相切

    =>

    圆心到直线AB距离等于半径1

    =>

    PQ=|a*1+b*1+c|/根号(a^2+b^2)=1

    =>

    (a+b+c)^2=a^2+b^2

    =>

    c^2+2ab+2ac+2bc=0

    =>

    -a=(c^2+2bc)/(2b+2c)

    令y=0求A横坐标

    =>

    x=-c/a

    =(2b+2c)/(2b+c)

    =1+c/(2b+c)

    =1+c/b/(2+c/b)

    令x=0求B纵坐标

    =>

    y=-c/b

    =>

    x=1+(-y)/(2-y)

    =>

    x=1+y/(y-2)

    中点坐标为(x/2,y/2)

    =>

    ((1+y/(y-2))/2,y/2)

    =>

    (1/2+z/(2z-2),z)

    =>

    轨迹方程为

    x'=1/2+y'/(2y'-2)

    定义域为y'>1

    问题三:

    Sabo=a*b/2

    根据问题一的结论可得

    Sabo=a+b-1

    欲使面积小

    应使a+b小

    欲使a+b小

    应使BN+NO+OM+MA小

    也即应使BN+MA+1+1小

    也即应使BQ+QA+2小

    也即应使BA最小

    显然,斜率为45时BA最小

    此时

    OQ=1+根2

    =>

    Smin=OQ^2=3+2根2