解题思路：（I）先求出F（x），然后求出F'（x），分别求出F′（x）＞0与F′（x）＜0 求出F（x）的单调区间；
（II）利用导数的几何意义表示出切线的斜率k，根据
k≤
1
2]恒成立将a分离出来，
a≥(−
1
2
x
0
2
+
x
0
)
max
，即可求出a的范围，从而得到a的最小值；
（III）p函数y=g（
2a
x
2
+1
）+m-1的图象与y=f（1+x2）的图象有四个不同的交点转化成方程有四个不同的根，分离出m后，转化成新函数的最大值和最小值．
（I）F(x)＝f(x)+g(x)＝lnx+
a/x(x＞0)，F′(x)＝
1
x−
a
x2＝
x−a
x2(x＞0)．
因为a＞0由F′（x）＞0⇒x∈（a，+∞），所以F（x）在（a，+∞）上单调递增；
由F′（x）＜0⇒x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上单调递减．
（Ⅱ）由题意可知k＝F′(x0)＝
x0−a
x20≤
1
2]对任意0＜x0≤3恒成立，
即有x0−
1
2
x20≤a对任意0＜x0≤3恒成立，即(x0−
1
2
x20)max≤a，
令t＝x0−
1
2
x20＝−
1
2(
x20−2x0)＝−
1
2(x0−1)2+
1
2≤
1
2，
则a≥
1
2，即实数a的最小值为[1/2]．
（III）若y=g（[2a
x2+1）+m-1═
1/2x2+m−
1
2]的图象与y=f（1+x2）=ln（x2+1）的图象恰有四个不同交点，
即[1/2x2+m−
1
2＝ln(x2+1)有四个不同的根，
亦即m＝ln(x2+1)−
1
2x2+
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，导数在函数单调性和最值中的应用，同时考查了导数的几何意义和恒成立问题，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
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