解题思路：（1）特值法，结合问题对a、b取特值即可求解；
（2）特值法，令a=x，b=-x即可获得f（-x）与f（x）的关系，从而问题即可获得求解；
（3）根据函数单调性的定义即可证明，注意条件对任意x＞0，g（x）＞1的利用，同时用定义时既可采用做差法也可采用做商法；
（4）根据奇偶性和单调性在基本初等函数中寻找实例即可．
（1）令a=b=0，则f（0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0
g（0）=g（0）•g（0）⇒g（0）=0或g（0）=1，
若g（0）=0，则g（x）=0，与条件矛盾．
故g（0）=1（也可令a=0，b=1，则不需要检验）
（2）f（x）的定义域为R，关于数0对称，
令a=x，b=-x，则f（-x）=-f（x）．
故f（x）为奇函数．
（3）当x＜0时，-x＞0，g（-x）＞1，
又g（x）•g（-x）=g（0）=1⇒0＜g（x）＜1
故∀x∈R，g（x）＞0
证法一：设x1，x2为R上任意两个实数，且x1＜x2，
则x1-x2＜0，g（x1-x2）＜lg（x1）-g（x2）
=g[（x1-x2）+x2]-g（x2）=[g（x1-x2）-1]•g（x2）＜0．
故g（x）为R上的增函数．
证法二：设x1，x2为R上任意两个实数，且x1＜x2，
g(x1)
g(x2)＝
g[(x1−x2)+x2]
g(x2)＝g(x1−x2)＜1
∴g（x）为R上的增函数．
（4）f（x）=2x；g（x）=2x．
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题考查的是函数的单调性及奇偶性等性质问题．在解答的过程当中充分体现了特值的思想、做差的方法、做商的方法以及对基本初等函数的理解及应用．值得同学们体会反思．