解题思路:由
cosB=
1
2
,
sinC=
3
5
,利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinB和cosC的值,得到cosC的值有两解,假如cosC的解为负数得到C为钝角,则B和π-C为锐角,然后根据sinB和sin(π-C)的值,利用正弦函数的单调性得到B大于π-C,即B+C大于π,与三角形的内角和定理矛盾,所以假设错误,cosC只能等于正值,把所求的式子cosA利用诱导公式化简后,得到cosA等于-cos(B+C),然后利用两角和的余弦函数公式化简后,将各自的值代入即可求出原式的值.
∵cosB=[1/2],∴sinB=
3
2,
又sinC=[3/5],cosC=±[4/5],
若cosC=-[4/5],则角C是钝角,角B为锐角,π-C为锐角,而sin(π-C)=[3/5],
sinB=
3
2,于是 sin(π-C)<sinB,
∴B>π-C,B+C>π,矛盾,
∴cosC≠-[4/5],cosC=[4/5],
∵A+B+C=π
∴cosA=-cos(B+C)
=-(cosBcosC-sinBsinC)=-([1/2]×[4/5]-
3
2×[3/5])=
3
3−4
10.
点评:
本题考点: 同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的余弦函数.
考点点评: 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、诱导公式及两角和的余弦函数公式化简求值,是一道综合题.