Question

（2013•日照二模）设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（an-1）（an+3）=4Sn，其中Sn为数

Answer 1

解题思路：（I）先将题设中数列的和与项的关系式转化为数列的项的关系式，根据等差数列的定义证明即可；

（II）求出a_n，再求出数列

{

4

a

2

n

−1

}

的通项，用裂项相消法求出T_n，根据T_n的单调性证明即可．

（Ⅰ）∵（a_n-1）（a_n+3）=4S_n，当n≥2时，（a_n-1-1）（a_n-1+3）=4S_n-1，

两式相减，得

a2n−

a2n−1+2an−2an−1＝4an，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，又a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．

当n=1时，（a₁-1）（a₁+3）=4a₁，∴（a₁+1）（a₁-3）=0，又a₁＞0，∴a₁=3．

所以，数是以3为首项，2为公差的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ），a₁=3，d=2，∴a_n=2n+1．

设bn＝

4

an2−1]，n∈N^*；∵a_n=2n+1，∴an2−1＝4n(n+1)))

∴bn＝

4

4n(n+1)＝

1

n(n+1)＝

1

n−

1

n+1

∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(1−

1

2)+(

1

2−

1

3)+…+(

1

n−

1

n+1)=1−

1

n+1＜1．

又∵Tn+1−Tn＝

n+1

n+2−

n

n+1＝

1

(n+2)(n+1)＞0，∴Tn+1＞Tn＞Tn−1＞…＞T1＝

1

2，

综上所述：不等式

1

2≤Tn＜1成立．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查裂项相消法求数列的和及利用定义证明等差数列．