Question

设数列{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与1的等差中

Answer 1

由题意得

(an +1)/2=√(Sn×1)

Sn=[(an +1)/2]²

n=1时,S1=a1=[(a1+1)/2]²,整理,得

(a1-1)²=0

a1=1

n≥2时,

Sn=[(an +1)/2]² S(n-1)=[(a(n-1) +1)/2]²

Sn-S(n-1)=an=[(an+1)/2]²-[(a(n-1)+1)/2]²

4an=an²+2an+1-[a(n-1)+1]²

(an -1)²-[a(n-1)+1]²=0

[an-1+a(n-1)+1][an -1-a(n-1)-1]=0

[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0

数列是正数数列,an+a(n-1)>0,要等式成立,只有an-a(n-1)=2,为定值.

数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.

an=1+2(n-1)=2n-1

数列{an}的通项公式为an=2n-1.